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カッツ代数は、作用素環的立場に基づく量子化された群(量子群)として、近年富にその研究が活発になってきている。特に作用素環における無限次元有限単射因子環の部分因子環の分類論では、極めて貴重な役割を担っており、例えば、深さての部分因子環の包含関係は、カッツ代数による接合積として表わせるという事実からもその重要性は推察できる。ところが、カッツ代数の具体例は、未だ数において十分であるとは言い難い。私の研究課題の一つは、既存の技術を用いて数多くのカッツ代数の例を構成するということであったが、論文において、私は、今まで知られているカッツ代数の殆ど全てが群正則表現に付随する竹崎型作用素環として実現されていることを証明した。これは取りも直さず、群正則表現の竹崎型環を、カッツ代数の具体例を与える有効な手段として用いる事が出来ることを明らかにしたことになる。次に、前述のように、カッツ代数は量子群として見なせるという観点から、一般の群と同様にカッツ代数も作用素環上に自明でない作用を引き起こすのではないかと期待できる。このことから、私の第2の研究課題として、カッツ代数の作用素環上の作用を具体的に構成するということをあげたのだが、この方面の成果として、まずMajidの双接合積からくるカッツ代数は、常に可換ノイマン環上に作用を誘導することを証明した。特に、この作用は、エルゴード的であるという点からも、この例は重要である。次なる成果は、有限次元カッツ代数に限れば、これらは無限次元有限単射因子環上に作用をもつことを示したことである。更に、この作用は外部的であるということから、いわゆる“標準的"な作用を構成したことで意味のある結果といえる。また、この構成法からは、Jones指数の訂箕も可能で、その指数がカッツ代数の次元と等しいことを示した。最後に、上述の研究の副産物として、Majidの双接合積カッツ代数の内在的群を詳しく記述してみせた。これはカッツ代数の内在的群を具体的に計算した例として、評価される。
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