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複素解析学において、解析的集合の接続やコホモロジー群の消滅の問題は重要な課題であり、それらの問題と関連して、q-疑凸領域やq-疑凸関数の性質を調べる必要がある。q-疑凸と呼ばれる領域や関数は数種あり、それらの性質や相互関係を詳しく調べると共に、それを用いて、ケーラー多様体の部分領域がAndreotti-Grauertの意味でq-疑凸、q-完備になるための微分幾何学的な条件を与えることを研究の第1目的としたが、その計画のかなりの部分は達せられた。得られた主な結果は次の通りである。
1.一般位数の疑凸関数の“疑凸性の強さの度合いを表す量"の概念を導入し、その量を用いて、ケーラー多様体の部分領域の与えられた計量に関する境界距離関数の性質を微分幾何学的に考察した。特に、多様体の正則両断面曲率との関係を明らかにした。
2.ケーラー多様体の局所的な一般位数の疑凸領域に対し、境界距離関数の性質を用いて、幾つかの場合に、それが大域的にq-疑凸、q-完備になることを示した。この結果は、複素射影空間の代数的集合の補集合のq-疑凸性に関するBarthの定理の拡張及び別証明を含む、また、シュタイン多様体の場合の結果も含む、さらに、本研究の手法では、領域の境界が滑らかな場合、より良い疑凸性が結論できている。
以上の結果は、現在、論文にまとめている最中であり、近々、投稿の予定である。
尚、ケーラー多様体の解析的集合の近傍のq-疑凸性等を調べる問題等、幾つかの応用にも取り組もうとしたが、まだ、有効な手がかりは得られておらず、今後の課題である。滑らかさを仮定しない一般位数の疑凸関数の性質についても、研究の余地が残されている。
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