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III型部分因子環の指数理論の第一目的は、指数有限の部分因子環の分 類であるが、III型の場合は、その不変量として、II型部分因子環の指数理論に現われる不変量(パラ・グループ)と、エルゴード理論的な意味をもつ不変量をあわせて考えなければならない。指数が小さい場合は、これらの不変量が同時に現われることはないので既に知られているが、指数が大きくなると、一般に扱うことが極めて難しくなる。そこで、ある特別なクラス(例えば、群作用から作られる部分因子環、エルゴード理論的情報のみで記述できる部分環など)に制限して調べることが、これまでの研究方法であり、これからの方針のひとつであると思われる。
これらのアプローチの中で、指数が小さい場合(すなわち、指数が2または3のとき)III型因子環・部分因子環がエルゴード理論的情報のみで記述できる必要十分条件が得られた。(エルゴード理論的情報のみで記述できる場合は、指数は整数でなければならない。)また、群作用から作られる部分因子環(正確には、有限アーベル群による接合積)に対して、自然に双対作用が存在するが、この作用の不変量をある仮定(応用上は十分な仮定)の下で計算することができた。これにより、この部分因子環とその双対な部分因子環の関係と、群作用、エルゴード理論的情報が少し明らかになった。今後の課題として群作用より広いクラスとして、Kac代数によるIII型因子環への作用を調べることが、今までの研究との関係で意味があると思われる。
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