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区分的可逆な非線型多次元系の中で、本研究では特にHyperbolicな構造がくずれた力学系を対象に、測度論的性質を問題にした。双曲性を持たない多次元系(1次元系も含め)の特徴は、Markov分割の存在や、bounded distortion prophtg(Reuyis iondition)の成立が望めず、従って従来のペロンフロベニウス、オペレーターを使ったアプローチが適用しない。又得られる不変測度の密度関数には、自然にsingularityが生じてしまう。
このsingularityは時には測度の発散をもひきおこす。しかしながら、ある付帯条件のもとでは、Non-Hyperbolicでありながらも依然興味深い測度論的性質が成立する事が得られた。具体的には、Hyperbolicな力学系が持つ、絶対連続でエルゴディックな不変測度の性質、exactness、Pohlimのエントロピー公式、等は、不変測度が発散していても、その成立をみる事ができる。ポイントは、有限不測度の場合は、自動的に成立するﾞConservotivity(保存性)″がやはり成立し、従って誘導変換を、有限測度の集合の上で構成可能となる事である。
詳細はプレプリンドMulti-dimeusional maps with infinite invariant measures and cowtablc state sufio shigts″(投稿中)の中で述べられている。又有限測度の場合の、統計的性質の問題は、Non-hyperbolicな多次元系に関し、未解決と言って良い。
本研究において、Markov性とPeugi条件を有限時間内に成立させるcyliderクラスによる近似理論が、この問題に対するアプローチとなりうる展望が開け
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