| 研究概要 |
さまざまな曲線のLuroth半群を求めるための手段として本研究では主に種数が正の代数曲線の3葉の被覆曲線上の不動点のないペンシルについて研究し1つの結果を得た.この成果はしかるべき専門雑誌に発表する予定である.詳しい内容については後述する.
i)与えられた平面曲線が非特異になるためのLuroth半群の充分条件を求めること.
ii)結節平面曲線のLuroth半群を決定すること.
iii)曲線のscrollar不変量とLuroth半群の関係を求めること.
等についても様々な角度から研究し,一定の知見を得ることはできたが,発表に値する成果までには到達していない.今後の課題といて残されている.
Weierstrass Pairの研究については,現在,特に力点をおいて進行中である.次年度以降の研究課題の1つとすべく問題点を整理中である.
Cを種数h>0のBrill-Noetherの意味で一般な代数曲線,XをCの3葉の被覆でその種数をgとし,π:X→Cをその被覆射影とする.X上で定義された不動点をもたないペンシル(base point free pencil)は,その次数(degree)が比較的小さい(Castelnuovo-Severiの評価,後述)ときはつねにC上のペンシルのπによる引き戻しである.従って,X上のLuroth半群のうち比較的小さい部分はC上のLuroth半群によって規定される.そこで,C上のペンシルのπによる引き戻しでないX上の不動点をもたないペンシルが存在する次数を求めることがX上のLuroth半群の研究にとって重要である.ここで特にh>0で3葉の場合Luroth半群を研究理由は次による.
i)h=0で2葉の場合は超楕円的でありLuroth半群はよく知られている.
ii)h=0で3葉の場合はG.Martens,F.-O.Schreiyer等によって求められている.
iii)h=0でn(【greater than or equal】4)葉の場合,一般のXについて最近Coppens-Keem-Martensに
iv)h>0で2葉の場合はまだ完全ではないが殆ど解明されている.
我々が得た主成果は次の通りである(記号は上記のものを踏襲する).
定理.g【greater than or equal】(2[(3h+1)/2]+1)([(3h+1)/2]+1)とすれば,d【greater than or equal】g-[(3h+1)/2]-1をみたすすべてのdに対して次数dの不動点を持たないX上のペンシルでC上のペンシルの引き戻しでき名ものが存在する.
証明はd【greater than or equal】g-[(3h+1)/2]まではJacobi多葉体内でその部分多葉体W^r_d(X)(X上の次数=d,次元【greater than or equal】rの正因子達の像)に交点数の理論を使うことによって比較的に容易であるがd=g-[(3h+1)/2]-1の場合はW^r_d(X)の既約性の証明が容易でなくその証明に多くの時間を費やしたがR.Miranda,Triple coverings in algebraic geometry,Amer.J.Math.107(1985)1123-1158の議論及び結果を援用することによって解決した.
先に引用したCastelnuovo-Severiの評価は次の通り:d【greater than or equal】(g-3h)/2ならばX上の不動点を持たない次数dのペンシルはつねにC上のペンシルの引き戻しである.この事実と我々の定理を比較するとまだ最良の評価には程遠いものと考えられる.そこで,比較的扱いが容易な巡回3葉被覆の場合について検証した結果,次のことが判明
i)一般にはCastelnuovo-Severiの評価は最良であるが,特殊な3葉被覆ではかなり改良される.
ii)巡回3葉被覆では我々の定理が改良可能である.
上記i)の事実はMartens-Schreiyerによって有効に用いられたMaroni不変量と深く関係しているものと考えられる.従って,彼等の手法を深く分析し,我々の問題への適用をはかる方策をさぐることが今後の研究課題の1つになりうる.
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