| 研究分担者 |
中村 博昭 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助手 (60217883)
中山 昇 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助教授 (10189079)
織田 孝幸 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (10109415)
川又 雄二郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (90126037)
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| 研究概要 |
今年度は主に,局所体上の代数多様体のε-因子及び周期積分の行列式について研究した.
代数体上定義された代数多様体に対し,そのHasse-Weil L関数は,基本的な研究対象である.これは一般に関数等式を満たすと予想され,その関数等式の符号が定義される.まず多様体の次元が偶数の時にこれについて研究した.この場合にはp進Hodge理論を用いて符号は常に+であることを示した.
次元が奇数のときは主に曲線について研究した.これはMordell-Weil群についてのBirch-Swinnerton予想とも関連する重要な問題である.一般に符号は各素点での局所符号の積と予想される.この局所符号は,代数幾何的に微分形式を用いて定義される判別式で表されるという予想の正確な定式化及びその部分的な証明を行った.予想の定式化は微妙な問題であったが,Koszul複体の理論と相対標準層とGrothendieck双対性の理論を使って解決した.その予想を,1.還元が馴な場合.2.正標数の場合.3.あるFermat曲線の商の場合.に示すことができた.
周期積分の行列式は,都立大の寺杣氏との共同研究である.これは結果自体はすでにわかっていたが,それをまとめる段階でtame symbolやDeligneのRiemann-Rochとの関係が明らかになってきた.特に後者を使ってLoeser-Sabbah,寺杣氏らの結果の精密化ができそうであるので,これは今後の課題である.
局所体上の高次元の多様体の安定還元定理についても研究した.これは局所体上の多様体は,定義体の適当な有限次拡大の後に,安定還元をもつかと言う問題である.これはmoduliのcompact化などとも関係する重要な問題である.この問題の一般化である有限次拡大の後に馴な還元をもつかという問題を研究した.これについては還元についてのある条件の下で肯定的な結果を得た.
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