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保型関数のスペクトル理論とその整数論への応用

研究課題

研究課題/領域番号 06640033
研究種目

一般研究(C)

配分区分補助金
研究分野 代数学
研究機関名古屋大学

研究代表者

谷川 好男  名古屋大学, 理学部, 講師 (50109261)

研究分担者 中野 伸  名古屋大学, 理学部, 講師 (40180327)
寺西 鎮男  名古屋大学, 理学部, 助教授 (20115603)
伊藤 博  名古屋大学, 理学部, 助教授 (30168372)
向井 茂  名古屋大学, 理学部, 教授 (80115641)
北岡 良之  名古屋大学, 理学部, 教授 (40022686)
研究期間 (年度) 1994
研究課題ステータス 完了 (1994年度)
配分額 *注記
2,000千円 (直接経費: 2,000千円)
1994年度: 2,000千円 (直接経費: 2,000千円)
キーワード加法的約数問題 / アイゼンシュタイン級数 / ア-ス尖点形式 / スペクトル理論 / クロステルマン和 / クロステルマンゼータ関数 / 跡公式 / リニック予想
研究概要

加法的約数問題ではしばしば約数関数d(n)に対して、Σ_<n【less than or equal】x>d(n)d(n+k)のxに関する評価が問題になる。Vinogradov-Takhtadzhyanはこの問題に保型関数のスペクトル理論からアプローチするために、積分∫_<Γ\H>1^*(z,1/2)|^2P_k(z,s)dμ(z)( ここで、E^*(z,α)はEisenstein級数、P_k(z,s)はPoincare級数)を考えた。即ちこの積分をL_2(Γ\H)に作用するラプラシアンの固有関数でスペクトル分解し、主要項としてのゼータ関数ζ_k(s)=Σ^∞_<n=1>d(n)d(n+k)n^<-S>の評価を求めている。我々はそのアナロジーとして、Eisenstein級数とMaass form f(z)の積の積分I_k(s;α,f)=∫_<Γ∞\H>E^*(z,α)f(z)y^Se^<2πikx>dμ(z) を考え、その主要項としてのDirichlet級数がどのようなものかを出した。
D_k(s;α,f)=Σ^^∞__<m=1>(σ^<2α-1>(m+k)p(m))/(m^8)+ε_fΣ^^∞__<m=1,m≠k>(σ^<2α-1>(|m-k|)p(m))/(m^s)
がそのDirichlet級数で、一方I_k(s;α,f)をスペクトル表示することによりD_k(s;α,f)のIm(s)→∞における評価を得た。またこれを応用して加法的約数問題のアナロジー、
Σ__<m【less than or equal】x,m≠k>{σ^<2α-1>(m+k)+ε_fσ^<2α-1>(|m-k|)}p(m)=O(x^<2Reα+ηo+∈-1/(2Reα+3/2)>)
が成り立つことを示した。次にD_k(s;α,f)を用いる事により、Z_<n,m>(s)をKloostermanゼータ関数、ω(x)を適当なtest関数として時Σ^∞_<n=1>p(n)Z_<n,m>(s)ω(n)をI_k(s;α,f)の積分で表すことができた。今後の問題として、ω(x)を特殊化することにより、Z_<n,m>(s)の評価が得られないかどうかを考えたいと思っている。

報告書

(1件)
  • 1994 実績報告書
  • 研究成果

    (3件)

すべて その他

すべて 文献書誌 (3件)

  • [文献書誌] Yoshio Tanigawa: "On certain Dirichlet series obtained by the product of Eisenstein series and a cusp form" Proc.Japan Academy. 71. 27-29 (1995)

    • 関連する報告書
      1994 実績報告書
  • [文献書誌] Yoshiyuki Kitaoka: "The minimum and the primitive representation of positive definite guadratic forms" Nagoya Math.Jouvnal. 133. 127-153 (1994)

    • 関連する報告書
      1994 実績報告書
  • [文献書誌] Yoshyuki Kitaoka: "Finite arithmetic subgroups of GLn,III" Proc.Indian Acad. Sci.104. 201-206 (1994)

    • 関連する報告書
      1994 実績報告書

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公開日: 1994-04-01   更新日: 2016-04-21  

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