代数系の表現の研究

• 研究課題/領域番号: 06640068
• 研究種目: 一般研究(C)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 大阪市立大学
• 研究代表者: 津島 行男 大阪市立大学, 理学部, 教授 (80047240)
• 研究分担者: 村上 斉 大阪市立大学, 理学部, 助教授 (70192771) ; 金信 泰造 大阪市立大学, 理学部, 助教授 (00152819) ; 住岡 武 大阪市立大学, 理学部, 助教授 (90047366) ; 枡田 幹也 大阪市立大学, 理学部, 教授 (00143371) ; 河内 明夫 大阪市立大学, 理学部, 教授 (00112524)
• 研究期間 (年度): 1994
• 研究課題ステータス: 完了 (1994年度)
• 配分額: 2,000千円 (直接経費: 2,000千円); 1994年度: 2,000千円 (直接経費: 2,000千円)
• キーワード: 対称群 / モジュラー表現 / 代数群 / 正則分割 / 一般線形群 / ワイル加群 / ヤング図形 / シュアー多元環

研究概要

対称群のモジュラー表現を代数群の表現論との関連のもとで行うという現代的手法で研究した。rを与えられた自然数とし、pを素数とする。G=r次対称群、k=標数pの代数的閉体。λをrのp^-正則分割、D_λを対応する既約kG-加群、i(λ)をMullineux symbolとする。従って、i(λ)もrのp^-正則分割であり、iはrのp^-正則分割全体の集合の上の1対1対応を与える。
Mullineux予想:D_λ(X)sgn【similar or equal】D_<i(λ)>。ここでsgnはGの符号表現とする。
この予想は問題の性質上組み合わせ論とも関係し、その方面の専門家からも注目されている。一方GL(n,k)をk上の一般線形群とするとWeyl加群を通して、対称群のモジュラー表現がGL(n,k)の有理表現と深く関わる。V_λを分割λに対応するWeyl加群とし、soc(V_λ)をそのsocleとする。今年度の研究代表者の主結果は次の定理である。
定理r≦nとする。このとき、soc(V_λ)【similar or equal】F_<i(λ)>。ただし、rのn^-分割μに対してF_μは対応する(有理)既約GL(n,k)-加群で、μ′はμをYoung diagramと見てその転置を表す。
これによって、Mullineux予想を一般線形群の表現論の問題と見ることが可能になり、問題の持つ普遍性を明らかにすると同時に予想の解決に向けて新たな方法論を提示することが出来た。上記定理の証明には、現在各方面から注目を浴びているSchur algebraの理論とJ.A.GreenによるWeyl加群の特徴付けが必要である。