| 研究概要 |
m,n,rはr【less than or equal】min{m,n}をみたす正整数,a_1,・・・,a_r,b_1,・・・,b_rは1【less than or equal】a_1<・・・<a_r【less than or equal】m,1【less than or equal】b_1<・・・<b_r【less than or equal】nをみたす整数であるとする.さらに,各iに対しての最初のa_i-1行から成るi次小行列式が0であるようなm×r行列の中でもっとも普遍的なものをYとし,各iに対して最初のb_i-1列から成るi次小行列式が0であるようなr×n行列の中でもっとも普遍的なものをZとする.可換環Bに対し,YおよびZの成分でB上生成された可換環を考えると,Y,Zの普遍性から,Yを特殊線形群の元を右から,Zにその逆行列を左からかけることによって,B上のr次特殊線形群がその環に作用する.YZの成分とYおよびZのr次小行列式でB上生成された部分環をAとすると,その元は上記作用に関する不変式になっていることはただちにわかる.
そこで私は,上記の可換環Aを調べ,それにHodge algebra構造と呼ばれる,順序集合に関連する組み合わせ的構造を導入し,それを利用して,Aが上記作用に関するabsolute invariant(古くから研究されているようなBが無限体の場合等,多少の条件がみたされる場合には,一般の不変式と同じことになる)全体であることを示した.また,この組み合わせ的構造を利用して,BがCohen-Macaulay環であればAもCohen-Macaulay環になることを示た.さらに,BがKrull整域の場合にAの因子類群を計算し,Aのcanonical classを調べることによってAがGorenstein環になるための判定条件を与えた.
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