| 研究概要 |
Gをコンパクトリー群、XをG-空間、Wa^G(X)を同変有限障害群とする。Siebenmannの示した積の拡張になっているWa^G(X)の上の積Wa^G(X)×Wa^G(X)→Wa^G(X)は一般には構成できず、各固定点集合が連結で、その基本群が可換群の場合には構成できる。これは、各固定点集合のシステムを実現する同変Hopf空間の積構造を用いて表わせる事を示した。Gが自明群で、連結空間Xの基本群が簡単な群の場合、この積は自明である事が知られているが、Gが一般の場合にどうであるかが問題であるが、まだその解決までは至っていない。
有限群のバーンサイド環の、コンパクトリー群への拡張は自然に2通りの方法で拡張される。それを、U^G,A^Gとする。それぞれに意味を持つが、特に有限障害群Wa^G(X)はU^G-モジュールであることが知られている。自然なinclusion i:A^G→U^Gは、群の準同形にはなるが、環準同形ではない。projection v:U^G→A^Gは、環準同形になる。ここで、Gが有限群でない場合、すなわちランクが1以上のとき、projection vを経由して、Wa^G(X)はA^G-モジュールになるかが問題である。そこで、A^G・Wa^G(X),U^G・Wa^G(X)=Wa^G(X)について研究した。元[f:Y→X]∈Wa^G(X)に対し、[f×…×f]∈Wa^G(X×…×X)が零になるとき、その元をquasi-nilpotentと定義すると、写像vの核_l_'^Gに対して、_l_'^G・Wa^G(X)の元はすべてquasi-nilpotentであることがわかった。この結果は、作用の制限と密接な関係がある。この系として、Wa^<SS11>E1(X)が積構造を持つ場合に対して、連結空間Xの基本群が簡単な群の場合にはこの積が自明であることが示せた。
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