| 研究概要 |
∂f=0を満す(0,1)型微分形式fに対して、∂g=fが成立するような関数gを求めることを∂問題を解くといい、この時、この関数gを∂問題の解と言う。解析領域W上の正則関数を構成するために、この∂問題の解の存在性が重要であったりして、この∂問題は、解析領域Wと密接な関数がある。また、ある開集合W上にあらかじめ矛盾なく与えられた非真性特異点の分布に対しその分布に一致するような有理型関数hを求めることはCousin問題と呼ばれ、この時、この関数hをCousin問題の解と呼ぶ。これら∂問題、Cousin問題は、複素解析学の見地から、多くの領域でそれらの解について研究が成されて来た。これらの解の存在の如何を無限次元空間の領域で考察することが、研究テーマであった。どのような空間ならば、肯定的に解けるのか。Cousin問題については、解が存在しない無限次元空間がDincenにより報告されているように、無限次元空間では、解が必ずしも存在しない空間も存在する。いろいろな研究結果から、まずは、つぎの定理が証明した。
定理.H,Gを分離ヒルベルト空間とし、HからGへの包含写像がコンパクトであるとする。(W.P)をG上の擬凸Riemann領域とし、W_H:=P^<-1>(H)∩Wとする。この時、∂f=0を満たすW上のC^∞級の(0,1)型微分形式fに対して、W_H上の多重劣調和関数gが存在して、全てのW_Hの元zに対して、不等式||f(z)||_<∧__<(0,1)>(H)>≦e^<-1/2p(z)>が成立する。
この定理を用い、議論、計算等をして、今まで分からなかった無限次元空間であるDFN空間の擬凸Riemann領域における∂問題、Cousin問題の解の存在を証明した。
|
