| 研究概要 |
1.モーレーランク有限のω(オメガ)安定群は極小群を持てば定義可能であることが知られているが.また極大部分群を持つとも限らないし,たとえ持っていてもそれが定義可能になるかどうかはわからない.しかし,有限のモーレーランクを持つω安定群は,定義可能な部分群のうちで極大なものがあればそれが極大部分群であることを示した.
この応用として次のことが明らかになった.モーレーランクが3でランク2の部分群を持たない群とくにそのような単純群,いわゆるBad group,はその存在も分かっていない.Bad groupのランク1の定義可能な部分群は定義可能な部分群のなかで極大であるので,先の結果から,これらはアブストラクトな群として極大部分群となることが分かった.
2.任意のべき零群にたいしあるリー環を構成する方法はすでに知られており,ゼルマノフはこのことを使って,べき指数が素数のベキである群について『制限されたバーンサイド問題』を解決したが,このリー環の構成は定義可能であることを示した.したがって,もとのべき零群とそれから構成されるリー環の安定性のクラスは同じであることが分かった.
この応用として,「すべてのべき指数有限のω安定群はべき零群である」という予想について,このリー環を使って解決されるのではないかと期待される.
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