| 研究概要 |
円周群のボレル部分群や解析部分群の構造について研究から次の結果を得た。2以上の任意の可算順序数αに対して,真のΣ^c_α部分群が存在する。3以上の任意の可算順序数αに対して、真のП^o_α部分群が存在する。真のΣ^1_1部分群の存在も同様に確認された。またボレル部分群の生成元については、次の結果を得た。距離化可能な位相群の任意のK_σ部分群は、コンパクト部分集合によって生成される。コンパクト距離化可能位相群のΣ^o_α部分群は、△^o_α部分集合によって生成される。これらの結果はより強い次の形で成立することが予想される。コンパクト距離化可能位相群のΣ^1_1部分群はП^o_з部分集合によって生成される(予想)。この予想の類似の結果は、W以上のフィルターとその生成元についてはすでにZafrmyによって証明されているが、群に対する結果を得るためには、円周群の場合に限っても、新しいアプローチが必要だと思われる。自由群のボレル構造について研究し、次の結果を得た。ポーランド空間X上の自由群F(X)にGraevの距離を与えたものは、その完備化(これはポーランド群になる)の中でF_σであり、一般にはG_δではない。Xが離散空間でない限り、Graevの距離は決して完備にならないが、あるポーランド群の中でF_σ部分集合となることから、F(X)のボレル構造は標準的であることがわかる。またポーランド群X上の自由位相群(Graevの意味での)は一般に距離化可能ですらないが、そのボレル構造はやはり解析的である。Xがポーランド空間のボレル集合(又はΣ^1_1集合)なら、自由位相群F(X)のボレル構造は標準的(又は解析的)であることも、同様にして示された。
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