| 研究概要 |
1-因子をもつグラフGがn-拡張可能であるとは、G内にn本の独立辺を任意に指定するとき、これらを含む1-因子に拡張できるときのことをいう.グラフ内に1-因子が存在するための十分条件は19世紀からかなり多数の研究がなされて今日に至っている.その中の古典的な定理に次のようなものがある:位数2pの連結グラフG内の位数2q(p>q>1)の任意の連結誘導部かグラフが1-因子をもつならば、グラフGも1-因子をもつ.これは1974年にSUMNERによって証明されたものであり、グラフの誘導部分グラフによる再帰的条件による定理となっている.この定理をもとに、1993年にNISHIMURAは、n-拡張可能性について類似の定理:Gを位数2p(p【greater than or equal】3)の連結グラフ,q,nを1【less than or equal】n<q<pをみたす整数とする.ある整数qが存在して、Gの位数2qの任意の連結誘導部分グラフがn-拡張可能であれば、このときG自身もn-拡張可能である.を導き、組合せ系学術誌Ars Conbinatoria(CANADA)に発表された.この定理では、位数2qの誘導部分グラフに連結性を仮定し、Gからこの部分グラフを残すように除かれる位数2(p-q)の部分グラフについては、その連結性には条件が入れられていないことがわかる.ここでの研究では、逆に連結グラフGから除いてしまう部分グラフに連結性を仮定することによって新しい結果を作ることを目的とし
Gを位数2pの連結グラフとし、a,nをp-a≧n+1をみたす正整数とする.あるaが存在して、
位数2aの任意の連結部分グラフAに対して、GIAがn-拡張可能ならば、Gもn-拡張可能である.この定理の証明においてGIAは連結でなければならないことが要求されるので、1993年に得た定理よりも再帰的条件として調査するGの部分グラフの数量はアルゴリズム的に減っている結果となっている.この定理を証明する論文はEXTENDABLE GRAPHS and INDUCED SUBGRAPHSのタイトルで1994年のSUT Journal of Mathematics誌VOL.30.P129-135に発表された.
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