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パラ超関数とは、半沢が1992年に提起した新しい超関数概念で、シュバルツ超関数を含み、シュバルツ超関数とパラ超関数の積がパラ超関数として定着され、しかもその積が、シュバルツ超関数での無限個微分可能関数とシュバルツ超関数の積の、自然な延長となっているようなものである。
上のようなことから、シュバルツ超関数有限個の積は、常にパラ超関数として定義され、デルタ関数の巾などもパラ超関数として得られる。
パラ超関数でのシュバルツ超関数の積は、既知の結果を再現し、数学的に正当化はされていなかったが、直感的には自然と思われていた等式を正当化するなど、自然なものである。
本研究の当初の目的は、パラ超関数のトポロジーやフーリエ解析論の枠組を設定し、パラ超関数論の基本環境をととのえ、その上で物理、特に場の量子論への応用を考えるといったものであったが、最初の段階でトポロジーやフーリエ解析論の枠組の自然な設定が見つからず、行き詰まりの状態になってしまった。
具体的な数式などでは自然な結果も得られ、決して人工的なだけの概念ではないと思うのだが、残念である。
今後は、ヘビサイド関数とデルタ関数の積がどうなるかといった、素朴な問題が物理で大分厳密に正当化されずに残っているので、そういった方面から研究を進めていきたい。
報告書では、物理で使われるデルタ関数の巾の計算に関する小論を提出しておく。
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