| 研究概要 |
本研究の主要課題であった指数の正値性について、研究代表者は次の結果を得た。
まず,シンプレクティック多様体におけるGompfの構成における指数の和公式を発見し,それによってGompfの構成において正値性が保たれることを証明した.このことは,正値性の成り立つシンプレクティック多様体の範囲が相当に広いことを示すものである.また,4次元シンプレクティック多様体においては,Taubesの結果を授用することにより,しかるべき制約の下に正値性が常に成り立つことを示した.これらは投稿中の論文“Posi-tive line bundles and Gompf's coustruction"の主結果である.
また,もう一つの投稿論文“Positive line bundles and index"では,blowing up における指数の和公式(より正確には差公式)を見いだし,Kahler多様体の場合にはblowing upにおいて正値直線束に関する情報が一般のシンプレクティック多様体よりも正確につかめることを利用し、正値性に関するより精密な情報を得ることに成功した.すなわち,指数の正値性よりも正確な指数の下からの評価を導いた.さらに,これを均質Kahler多様体の場合に応用し,表現論における興味ある不等式を導いた.
以上の結果は正値性が成り立つ方向でのものばかりであり,正値性が成り立たないシンプレクティック多様体はエキゾチックなものであろうと示唆するものではある.しかし,正値性が常に成り立つかどうかは未解決であり,今後の研究はその未解決問題の解決に向けられるべきものと考えている.
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