| 研究概要 |
グラフGのA-被覆グラフと、対称有向グラフDのg-巡回的A-被覆のΓ-同型類の数え上げについて、元電気通信大学の水野弘文教授と議論しつつ、研究を進めた。
1 g-巡回的A-被覆について,以下の結果を得た。
(1)ある条件をみたす、任意の有限アーベル群Aについて、g,h∈Aの位数が奇数で等しいならば、Dのg-巡回的A-被覆とh-巡回的A-被覆のΓ-同型類の個数は等しい。
(2)Aがp^n次の巡回群(p>2:素数)のとき、g-巡回的A-被覆のI-同型類の個数を数え上げた。
(3)Aが素数(>2)位数pの巡回群Z_pのとき、g-巡回的Z_p-被覆のΓ-同型類の個数を数え上げ、ある種のスイッチングクラスのΓ-同型類の個数に等しいことを示した。
(4)有限アーベル群Aと奇数位数の元g∈Aに対して、g-巡回的A-被覆のI-同型類の個数を、連結なg-巡回的B-被覆のI-同型類の個数を用いて、表現する一つの分解公式を与えた。ここで、Bは、gを含み、gを固定する同型写像を持つ、Aの部分群の同型類の代表元全体を動く。
(5)奇素数pについて、連結なg-巡回的Z_<pn>-被覆や連結なg-巡回的Z_p^n-被覆のI-同型類の個数を数え上げた。
(1),(2),(3)をまとめて、論文にして、Ars Comibinatoriaに掲載予定。(4),(5)については、論文にして、投稿中。 g-巡回的Z_p×2_p-被覆のΓ-同型類の数え上げを試みたが、パラメータ表示が難しく、別のやり方を模索している。
2被覆グラフについては、Z_2×Z_2-被覆グラフのΓ-同型類の個数を決定し、論文にして、投稿中。Z_2×Z_2-被覆グラフでない4重正則被覆グラフである、Z_4-被覆グラフのΓ-同型類、さらに、4重正則被覆グラフのΓ-同型類の数え上げを考えたい。
3分岐被覆の数え上げについては、既にやられており、その論文を読んで、新たな問題を見つけたい。
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