| 研究概要 |
ALE空間と呼ばれる4次元のノンコンパクトな超ケーラー多様体の上の反自己双対接続のモジュライ空間の研究を通じて,筆者は箙多様体と呼ばれる新しい超ケーラー多様体の族を導入した.この多様体は,例えば旗多様体の余接束などを例として含み,モ-ス理論を用いてホモロジー群を計算することができるような非常にきれいな多様体であることが分かった.さらにRingel, Lusztingによる量子展開環の下三角部分環U^-_qの箙の表現のモジュライ空間を用いた構成に刺激されて,Kac-Moody Lie環の普遍展開環を箙多様体を用いて記述した.そのためにまず,箙多様体の積の中にあるラグランジアン部分多様体を定義し,そのホモロジー群に合成積によって積構造を導入した.そして,これがKac-Moody Lie環の普遍展開環と同型であることを証明した.
また,一方で元々の4次元のリーマン多様体の上の反自己双対接続のモジュライ空間を調べるという発想に立ち返り,ALE空間だけでなくより一般の4次元多様体について,モジュライ空間のホモロジー群を研究した.これについては,研究は始めたばかりであり,理解したというには程遠いが,まずハイゼンベルグ代数の対称性が隠されていたことを指摘することができた.ハイゼンベルグ代数は,アファインLie環のCartan部分環とも言えるもので,これが理解の第一歩であると考えている.
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