アレクサンドロフ空間の解析学

• 研究課題/領域番号: 07740049
• 研究種目: 奨励研究(A)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 大津 幸男 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 助手 (80233170)
• 研究期間 (年度): 1995
• 研究課題ステータス: 完了 (1995年度)
• 配分額: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円); 1995年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
• キーワード: アレクサンドロフ空間 / 比較定理 / 粘性解 / 凸解析

研究概要

アレクサンドロフ空間とは、三角形の比較により曲率の(上から、あるいは下から)制限されている距離空間であり、これは多様体を一般化した非常に複雑な空間である。まず、下から曲率の制限されたアレクサンドロフ空間で1階微分構造及びリーマン構造の存在を示し、それを使ってヤコビ場を定義し,殆ど到るところでのシュトルツの意味での2階微分構造の存在を示した。また、上から曲率の制限されたアレクサンドロフ空間でも同様に結果を得た。更に、この場合に断面曲率の存在についてもその一端を示すことが出来た.
次に、非線型解析における粘性解の理論は、最大値原理を使うことから、我々がこれまで展開してきたアレクサンドロフ空間における微分幾何学的手法と極めて深い類似性が認められる。そこでこのことに留意してアレクサンドロフ空間における(素朴な意味での)楕円型偏微分方程式及び、その粘性解の概念を得た。さらに、解の比較定理について一般的に示そうと試み、ある程度の結果を得た。