| 研究概要 |
正の山皿不変量を持つコンパクト・リーマン多様体から有限個の点を除いた領域上で、非正かつ除いた各点の近傍で負の値をとり、しかも一定のオーダーで0に近付くような滑らかな関数を、スカラー曲線として実現するような完備共形計量の空間が、(0,+∞]^kでパラメトライズされる(kは点の個数)と言う事実を得た。これは、より一般の非線型二階楕円型方程式の、最大解と同じオーダーを持つ解に関する一意性定理から得られる。k=1についての結果を一般化したものであるが、そのためには、ある境界の連結成分またはある端に関しては、ディリクレ条件を科した条件付最大解に関連する一意性定理を示す必要があった。それはまた、より一般的な領域上での楕円型方程式の特異境界値問題の解の一意性にも応用された。その適用にあたっては、解に関する、ある程度精密な、しかし、これまで必要とされていたよりはかなりゆるい演騨的評価を、あらかじめ与えておく必要がある。その評価を行なうと同時に、いくつかの新たな非不祐定理も得られた。以上の結果は、論文“Uniqueness of solutions of an elliptic singular boundory value problem"としてまとめ、発表する予定である。さらに、上記の結果を、通常の境界条件と、最大オーダーの仮定或いは特異境界値とが泥石している場合に一般化して、非線型方程式の解空間を上手く記述する問題が、今後の研究課題として、残された。
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