|
今年度は1階の準線型波動方程式のシステムの解の存在と爆発について主に研究してきた。論文にまとめるまでには到らなかったが、ある程度新しい結果が得られている。
1階準線型波動方程式のシステムは、その特性固有値の型によって分類されている。これまでは、特性固有値が原点(解=0)のまわりで多項式的に接触している場合解は有限時間内に爆発しその存在時間は多項式的なオーダーを持つこと、また一方特性固有値が原点付近で恒等的に0の場合は解は時間大域的に存在することがわかってる。今回、研究代表者は2×2のシステムに限り、その中間にあたる特性固有値が原点のまわりで無限次の接触をしているとき、解はやはり有限時間内に爆発し、その存在時間は指数関数的なオーダーを持つことを証明した。証明の方法はこれまでとほぼ同じ手順を踏むが、接触が無限次の分、ノルムの評価などをデリケ-トにしなくてはならない。尚、(2×2以外の)一般の場合は、テクニカルな理由からまだ証明できていず、現在も研究中である。
上に見るように多くの場合、古典解は爆発する。ではそのとき、同じシステムの弱解の存在についてはどうか。残念ながらまだ新しい結果は得られていないが、ある種のエネルギーを保存するような方程式については、Young測度を用いる方法が有効かもしれない。
|
