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Hopf Frechet核型環の一般論はまだ未完であるが、位相的基底の存在に関する部分をいくらかはっきりさせた。コンパクト型および離散型の、単位元を持つHopf Frechet核型局所乗法的凸*環Aについて、畳み込み積について弱い意味でのfactorizationが成り立つことと、Aが不変状態に関する非可換L^2 Sobolev空間の共通部分になることは同値である。後者の性質は、Hopf Frechet核型環について今までいろいろ模索した付帯条件の中では、もっとも良い挙動を示す。有限群と可換群とから有限回の拡大により構成される高々加算な離散群Gについて、Gの群環に対応する任意のHopf Frechet核型局所乗法的凸*環は、この性質を持つことを示した。また、コンパクトLie群の函数環がHopf Frechet核型局所乗法的凸*環であれば、何らかの可微分構造を反映しているかどうかが懸案であるが、数値実験からは、肯定的な予想が得られる。
Hopf Frechet核型環を考える動機の一つは、古典的な等質空間上の解析を量子等質空間上で展開することである。U_q(n)の量子商空間として得られる奇数次元量子球面について、Toeplitz作用素のスペクトルおよび(連続シンボルの場合の)Fredholm指数を求めてあったが、階数が低い場合についてSzego核をも求めた。「部分的な」領域での正値性もいえる。数値計算によれば、正値性が無限定に成り立つことが予想される。
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