| 研究課題/領域番号 |
07J05618
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 補助金 |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 研究分野 |
幾何学
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
松尾 信一郎 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| 研究期間 (年度) |
2007 – 2009
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| 研究課題ステータス |
完了 (2009年度)
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| 配分額 *注記 |
2,800千円 (直接経費: 2,800千円)
2009年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
2008年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
2007年度: 1,000千円 (直接経費: 1,000千円)
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| キーワード | 四次元多様体 / ゲージ理論 / 力学系 / 平均次元 |
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| 研究概要 |
今年度は有向四次元開多様体上の反自己双対接続の無限次元モジュライ空間をGromovの平均次元(mean dimension)の観点から研究した。これは昨年度の成果である反自己双対接続に対するRunge型近似定理の応用として得られた。また、その研究の過程で、反自己双対接続に対する無限次元変形理論を構築した。
擬正則曲線と反自己双対接続には、その大域解析学的性質に深い類似がある。たとえば、Gromov-Witten不変量とDonaldson不変量は、その構成は、形式的には、まったく同じである。しかし、細かいところに注目すると、その難点に違いがある。たとえば、擬正則曲線のモジュライでは、変形複体の障碍の扱いが繊細であるのに対し、反自己双対接続のモジュライでは、Weitzenbock公式によりその扱いは比較的容易である。今年度はまずは反自己双対接続のモジュライ空間に対して、研究を深め、その結果を眺め、擬正則曲線のモジュライに応用したいと考えた。
今年度の結果を記す。三次元球面と一次元Euclid空間との直積上で、その曲率の最大値が一様に抑えられた反自己双対接続を考え、その全体からなるモジュライ空間Mを研究する。Mは、コンパクト距離化可能空間になり、無限巡回群が連続に作用する。したがって、平均次元が定義できる。さらに、Mに対して、平均エネルギー(mean energy, renormalized energy)を定義した。このとき、主結果は、Mの平均次元を平均エネルギーでの評価式である。これはAtiyah-Singer指数定理の無限次元版の萌芽である。
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