| 研究概要 |
幾何学と表現論の両面からの研究により、theta級数の理解に著しい進展を見た。以下にその概要を報告する。Weil表現と、そのFock modelを詳細に研究することにより、Sp(n,R)の二重被覆群のLie群としての構造を明らかにし、重さ1/2の保型因子を構成した。結果は、"On two-fold covering group of Sp(n,R) and automarphic factor of weight 1/2(Commentarii Math.Univ.Sancti Pauli 45(1996),117-145)"として発表した。この成果は、theta級数の変換公式、重さ半整数のSiegel保型形式の表現論的研究、Jacobi形式と重さ半整数のSiegel尖点形式の関係、等の研究の重要な基礎となるものである。Weil表現をdual pair(Sp(n,R),O(m))に制限したときの既約分解を詳細に研究し、上で与えられた重さ1/2の保型因子を用いて、pluri-harmonic polynomial付きのtheta級数、及びHemite polynomial付きのtheta級数(とその多変数への一般化)の精密な交換公式を与え、そこに現れる1の8乗根のexplicit formulaを得た。結果は"On theta series with harmonic polynomials or Hermite polynomials(to appear on Commetarii Math.Univ.Sancti Pauli)"に発表される。一方、theta級数の幾何学的研究として、C上の一般種数の超楕円曲線のJacobi多様体を詳細に研究した。一つの結果として、種数2の場合のRosenhainの標準型に相当する公式を一般の種数の超楕円曲線に対して与えた。結果は"A generalization of Rosenhain's normal form for hyperelliptic curves with an application(Proc.Japan Acad.Ser.A 72(1996),162-165)"として発表した。この方向の研究は、まだ緒についたばかりであるが、既にいくつかの興味深い研究課題を発見している。来年度以降の研究で多くの結果を期待している。
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