| 研究概要 |
非線形写像の力学系としての構造と分岐を研究するために、その最も単純なモデルとしてのHenon mapの性質を解明する…ということがこの研究の目的である.
特に、Henon mapの分岐構造を調べるため、周期点曲面という代数多様体を導入し、その幾何学的な構造を調べてみようというのがひとつのテーマであった.具体的には,その周期点曲面の1-dimensional partとhyperbolic partとがどのように結合しているのかを表現するような、記号列に関する自然な十分条件をすでに得ていたわけだが,その必要性を示すのがひとつの課題であった.
これについては,前年度に続いて,多変数複素関数論,多変数ポテンシャル論の観点から代数多様体の位相的性質を調べ,ある種の極小性を証明しようとする方向性で研究を行なったが,今のところ具体的な結果は出ていない.
面積を保存するHenon familyはKAM理論的分岐を示すことはよく知られているが,パラメーターを大きくしてゆくとhorseshoe mapとなり,2-symbolのfull shiftと同型となる.その意味で,KAM理論的分岐で発生する周期点やinvariant circleなどが,どのようにsymbolic dynamicsの中に埋めこまれているのかは興味深い問題である.
これについては,2次元におけるrotation numberに対応するような不変量が必要となるが,torus等で定義されているrotation setなどは適用できない.本研究においては,前年度における,Biham-Wenzelの方法による数値実験で得られたデータをもとに,適切な不変量を定義するための試みをいくつか行なったが,まとまった理論的結果とするためには,さらなる研究が必要である.
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