| 研究概要 |
n次元複素ユークリッド空間C^n内の有界領域Dの境界∂Dが,ある種の条件をみたすとき,Dの正則自己同型群Aut(D)の構造によりDを特徴付けることが本研究の目標であったが,最終的な解決には至らなかったものの,以下のような前進があった.任意の正数P_1,…,P_sに対して,C^n内の有界領域E=E(n_1,…,n_s;P_1,…,P_s)をE={(Z_1,…,Z_s)∈C^n_1x…xC^n_s|||Z_1||^<2P>_1+…+||Z_s||^<2P>_s<1}と定義する.ただし,各n_jは自然数でn=n_1+…+n_sとする.また,||・||はユークリッドノルムとする.このとき,有界領域Eの特徴付けに関して次の予想がある.基本予想:DをC^n内の有界領域,x∈∂D∩∂Eとし,次に条件(1)(2)がみたされたと仮定する.(1)xの近傍〓が存在して,D∩〓=E∩〓である。(2)点b∈Dと列{T〓_ν}⊂Aut(D)が存在して,〓_ν(b)→xとなる.このとき,集合してDとEは完全に一致するであろう.実際,本研究代表者の児玉秋雄により1991年の論文(Tohoku Math.J.43)において,すべてのn_jが1である場合には,この予想が正しいことが証明された.その後,1995年の論文(Osaka J.Math.32)においては,任意のn_j≧1で,各P_jが自然数である場合にも,やはり上記予想は正しいことが証明された.これらの事実を踏え,本年度は各n_j≧1でP_jが自然数とは限らない正数の場合に予想を研究し,結果としてS=2の場合,すなわちE={(z_1,z_2)∈C^n_1×C^n_2|||Z_1||^<2P>_1+||Z_<>||^<2P>_2<1}の場合に上記予想を肯定的に解決した.なお,この結果を出すにあたり,リー群Aut(D)の構造の研究には石本教授があたり,また,Dの正則自己同型写像の境界挙動については,主に解析学見地から,林田,藤本,一瀬の各教授と小俣助教授が研究し,研究代表者の児玉がこれらの研究の総括にあたった.
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