| 研究概要 |
1.酒井は以前んから,リーマン多様体における種々の計量不変量の間に成り立つ関係,計量不変量と多様体構造の関連をテーマとして研究して来た。上記課題に関する研究費の援助の下で,特に勾配ベクトル場のノルムが一定である様な関数を許容するリーマン多様体の構造について調べた。多様体のリッチ曲率が下から押えられている場合にはその様な関数のラプラシアンの絶対値が上から押えられることを示し,特に等号が成立する場合の多様体構造を定めた。手法は主として測地線,ラプラシアンの幾何における比較定理を用いる。次に上の事実の摂動版を考察した。
最近リッチ曲率と多様体構造の関連について,J.チーガー,T.H.コールディング等の新しい手法によって懸案の予想が次々解かれている。彼等の研究の検討を行って,その方法で勾配ベクトル場のノルムが一定である関数についての上の事実の摂動版が取り扱える様で検討している。ただ私の取り扱っているのはかなり強い条件の下である。また著書「Riemannion Geometry」の第2版が出版予定で第1版の改訂を行った。
2.次に上記課題に関連して分担者達の行った研究について簡単に触れる。三村はホツプ空間の自分自身への写像のホモトピー類の集合にいつ群構造がはいるかを調べ,コンパクト連結リー群のK理論を考察した。勝田はグラフのラプラシアンと,ノイマン型境界値問題のスペクトル幾何を研究した。高橋は接触構造と数学教育に関してまた吉岡は一般位相空間について研究した。
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