| 研究概要 |
元々の研究目的とは,ややずれて頂点一個と,その頂点をそれ自身と結ぶ辺からなる箙に付随する旗多様体の構造を詳しく研究した.最初に箙多様体を研究したとき,そしてそれは量子展開環と対応させるために必要な仮定であったのだが,頂点を自分自身と結ぶような辺はないと仮定した.しかし,箙多様体自体は,この仮定をはずしても定義することは出来る.このとき対応する代数的構造は,ハイゼンベルグ代数になることが分かった.さらにこの箙多様体は,アフィン平面上の点のヒルベルト概型と一致することも証明でき,アファイン平面に働く2次元トーラスの作用が,箙多様体への作用に持ち上がる.このとき,その作用の固定点を詳しく調べた.固定点は有限個の点からなり,ヤング図形と一対一に対応する.モ-ス理論により,ホモロジー群の次元はヤング図形の個数に等しいことも分かる.これは,ハイゼンベルグ代数のいわゆるフォック表現空間とホモロジー群が一致していることを意味している.
また箙という視点を少し離れて,アファイン平面の代わりに射影直線上の直線束を曲面と思って,その上の点のヒルベルト概型を詳しく調べた.この場合にも2次元トーラスの作用があり,固定点はやはり有限個の点からなる.さらに,0-sectionがヒルベルト概型の中にある部分多様体を定め,その基本類を詳しく調べた.それらは,やはりハイゼンベルグ代数のいわゆるフォック表現空間の基底であると考えることが出来,これを対称多項式の空間と同一視すると,いわゆる単項多項式の基底と一致することが確かめられた.
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