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正標数(標数p)代数多様体上のp進局所系はoverconvergent F-isocrystalと呼ばれるrigid geometricな意味で標数0へ持ち上げた多様体上のFrobenius構造付きの微分加群の層で表される。当研究では、p進線型微分方程式系の研究を用いて、正標数代数多様体のp進cohomologyの有限性(有限モノドロミ-予想)に関する幾つかの結果を得た。以下、主な結果を表す。
代数曲線の場合では、quasi-unipotent overconvergent F-isocrystalと呼ばれるものについては、局所的にFrobeniusの作用に関するslope filtrationと呼ばれるものが一意的に入ることが示せた。(Crewにより、overconvergent F-isocrystalはquasi-unipotentであると予想されている。)この結果から、局所的にはquasi-unipotent overconvergent F-isocrystalのGrothendieck群はoverconvergent etale 〓-▽-moduleで生成されることが解り、L-関数やε-因子等の数論的対象の研究においてl-進理論の場合と同様にBrauer inductionと呼ばれる便利な方法が使えるようになった。
F-isocrystalのTate予想は、de Jongによるalterationの理論を用いると、1次元の局所的な場合に完全に帰着されるという結果を得た。この結果と以前得たetale 〓-▽加群の場合のTate型の定理と合わせると、unit-root F-isocrystalに制限すると一般の次元でTate予想が成立する。
当該研究を通して、p-進局所系の全体像が少しずつ見えてきた感じがする。
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