低次元力学系におけるカオスの研究

• 研究課題/領域番号: 08740134
• 研究種目: 奨励研究(A)
• 配分区分: 補助金
• 研究分野: 数学一般(含確率論・統計数学)
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 辻井 正人 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (20251598)
• 研究期間 (年度): 1996
• 研究課題ステータス: 完了 (1996年度)
• 配分額: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円); 1996年度: 1,100千円 (直接経費: 1,100千円)
• キーワード: カオス / エントロピー / 圧間力学系 / 1次元力学系

研究概要

本研究においては区間力学系の族におけるカオスの分岐の詳細な構造の研究を主にMilnor-Thurtston単調性と呼ばれる区間力学系の族におけるエントロピーに関する問題に関連させて研究した。この問題は区間から区間への連続写像の族が与えられたときにそれらの生成する力学系の族のエントロピーがパラメータについて(区分的に)単調に依存するかという問題であり、本研究ではfが単峰写像(臨界点がただ一つである写像)でありその写像にある定数を足す、f (x)+t (tはパラメータ)いう特別な族においての単調性を研究した。これはカオスにおける分岐を研究する上で基本的な問題である。
本研究の最大の成果は単調性を示すための一つの等式を発見したことである。この等式は有限な、即ち、臨界点が周期的な単峰写像においてその周期点の間に挟まれた区間の長さの比を考えることによって得られる。一般に単調性を証明する場合には全ての有限な組み合わせについて複雑な不等式を証明しなければならない。このことは問題を困難なものにしている。しかし、上で得られた等式はその不等式と非常によく似ており、組み合わせについてのいくつかの制限の下でこの等式との比較によって必要な不等式を証明した。特にfが対称で凸かつ負のシュワルツ微分を持つ場合には長さ10以下のKneading列について、そこでエントロピーが単調になることを証明した。現在のところそれ以外の組み合わせの場合についても特別な問題点は発見されていないが組み合わせ的な複雑さが原因で制限を外せないでいる。今後の課題はいかにして組み合わせ論的な複雑さを減らして一般の組み合わせについて単調性を証明するかということである。