| 研究概要 |
グラフの辺連結度は、通信網、交通網などのネットワークにおける信頼性問題やVLSIの配線問題など工学上広い応用を持つ。本研究では(i)辺連結度を保存しながら辺を遊離する問題,(ii)実数重み付きグラフの連結度をある目標値κに最適に増大させる問題に対して高速なアルゴリズムを開発した。
(i)の問題における辺の遊離とは、指定点sを持つ多重グラフにおいて隣接する2辺(u,s),(s,w)を1本の辺(u,w)に置き換える操作を指す。s以外の2点間の辺連結度をκ以上に保つ辺の遊離が常に可能であることは、Lovaszの定理として知られている。この結果は、グラフの辺連結性に関する諸定理の証明によく使われる古典的な手法であるが、これに対して最大流アルゴリズムに依存しないO(n(m+nlogn)logn)時間の高速なアルゴリズムは開発した。ここで、nはグラフの点数、mはグラフの辺の張られている点対数である。このことにより、他の多くのグラフ連結問題も効率良く解くことができるようになった。
(ii)の問題は,与えられたグラフの辺の重みを増加させることで辺連結度を指定された目標の値κに増大させる問題であり,このとき,増加する辺の重みの総和を最小にすることが目的となる.この問題に対しては、(i)の問題を解くアルゴリズムを設計する際に開発した技法を用いて専用のO(n(m+nlogn))時間の高速アルゴリズムを見つけることができた。このアルゴリズムは、従来のどんな方法とも異なり、各目標値κに対する答えを一度にすべて求めることができる画期的な特徴を持つ。
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