対称空間上の勾配型不変微分作用素とリー代数の表現

• 研究課題/領域番号: 09440002
• 研究種目: 基盤研究(B)
• 配分区分: 補助金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 北海道大学
• 研究代表者: 山下 博 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (30192793)
• 研究分担者: 澁川 陽一 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助手 (90241299) ; 齋藤 睦 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (70215565) ; 山田 裕史 北海道大学, 大学院・理学研究科, 助教授 (40192794) ; 西山 享 京都大学, 総合人間学部, 助教授 (70183085) ; 平井 武 京都大学, 大学院・理学研究科, 教授 (70025310)
• 研究期間 (年度): 1997 – 1999
• 研究課題ステータス: 完了 (1999年度)
• 配分額: 13,900千円 (直接経費: 13,900千円); 1999年度: 4,100千円 (直接経費: 4,100千円); 1998年度: 3,600千円 (直接経費: 3,600千円); 1997年度: 6,200千円 (直接経費: 6,200千円)
• キーワード: 半単純リー群 / Harish-Chandra加群 / べき零軌道 / 勾配型微分作用素 / 重複度 / 一般化Whittaker模型 / 離散系列 / 最高ウェイト表現 / 随伴多様体 / 四元数型対称空間 / Borel de-Siebenthal離数系列 / 一般化されたWhittaker模型 / 不変微分作用素 / エルミート対称空間 / Harish-Chandara加群

研究概要

「実半単純リー群Gの無限次元既約表現の誘導加群への埋込み(模型)が,リーマン対称空間X=K＼G上の勾配型不変微分作用素族が定める微分方程式系の誘導加群の関数空間における解により特徴づけられる」という核型定理をもとに,各既約表現(Harish-Chandra加群)について,種々の模型を記述することを目標にした研究を実施し,次の成果を得た.
1.エルミート型単純群Gの最高ウェイトをもつ既約Harish-Chandra加群Lから,K＼Gの正則接空間に含まれるリー代数のべき零軌道たちO_m(m=0,1,…,r)に付随した「一般化Gelfand-Graev誘導表現」Γ_mへの埋込み:一般化Whitta ker模型,を決定した.表現Lの随伴多様体はあるべき零K_<C->軌道O_<m(L)>(K_Cは極大コンパクト群Kの複素化)の閉包と一致する.表現LのΓ_<m(L)>への埋込みが勾配型微分作用素の主表現を用いてテ特定される.古典群の場合には,簡約相対対のoscillator表現を用いて,より具体的な結果を得た.
2.四元数型単純リー群のBorel-de Siebenthal離散系列表現について,Schmid-勾配型微分方程式を主系列の表現空間において解くことにより,0次n-ホモロジー空間を特定した.
3.既約な髄伴多様体をもつHarish-Chandra加群について,ある種の代数的な仮定のもとに,その随伴サイクルに現れる「重複度」を,双対Harish-Chandra加群を実現する勾配型不変微分作用素の主表象写像を用いて記述する一般理論を構築した.
4.各研究分担者は,表現論と微分方程式(齋藤・佐藤),表現と相互律(平井・西山・山田),保型形式と整数論(田口・三宅・前田)量子群や無限次元リー代数の表現(須藤・内藤・澁川・吉田)の研究を各自押し進めると同時に,これらの研究が深く関わる上記の研究過程で,セミナーや討論をとおして本研究に常時参加した.

研究成果

• [文献書誌] Yamashita H.: "Description of the associated varieties for the discrete series representations of a semisimple Lie group"Comment.Math.Univ.St.Paul.. 47・1. 35-52 (1998)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Yamashita H.: "Associated variety, Kostont-Sekiguchi correspondence, and locally free V(π)-action on Harish-Chandra modules"J.Math.Soc.Japan. 51・1. 129-149 (1999)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Yamashita H.: "Generalized Whittaker models and n-homology for some small irreducible representations of simple Lie groups"数理解析研究所講究録. 1124. 86-105 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Yamashita H.: "Reduced Schur henctions and Littlewood-Richardson coefficients"J.of London Math.Soc.(2). 59・2. 396-406 (1999)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Saito M.: "Hypergeometric polynomials and integer programming"Compositio Math.. 115・2. 185-204 (1999)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] Nishiyama K.: "Bernstein degree of singular unitary highest weight representations of the metaplectic group"Proc.Japan Acad.. 75・2. 9-11 (1999)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(和文)」より
• [文献書誌] H. Yamashita: "Description of the associated varieties for the discrete series representations of a semisimple Lie group"Comment. Math. Univ. St. Paul.. 47-No.1. 35-52 (1998)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] H. Yamashita: "Associated variety, Kostant-Sekuguchi correspondence, and locally free U(n)-action on Harish-Chandra modules"J. Math. Soc. Japan. 51-No.1. 129-149 (1999)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] H. Yamashita: "Generalized Whittaker models and n-homology for some small irreducible representations of simple Lie groups"RIMS Ko^kyu^roku. Vol.1124. 86-105 (2000)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] H. Yamashita: "functions and Littlewood-Richardson coefficients"J. of London Math. Soc.. 59-No.2. 396-406 (1999)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] M. Saito: "Hypergeometric polynomials and integer programming"Compositio Math.. 115-No.2. 185-204 (1999)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] K. Nishiyama: "Bernstein degree of singular unitary highest weight representations of the metaplectic group"Proc. Japan Acad.. 75 No.2. 9-11 (1999)
  • 説明: 「研究成果報告書概要(欧文)」より
• [文献書誌] Yamashita, H.: "Associated variety, Kostant-Sekiguchi correspondence, and locally free U(π)-action on Harish-Chandra modules"J. Math. Soc. Japan. 51・1. 129-149 (1999)
• [文献書誌] Yamashita, H.: "Gereralized Whittaker models and π-homology for some small irreducible representations of simple Lie groups"数理解析研究所購究録. 1124. 86-105 (2000)
• [文献書誌] Yamashita, H.: "Two dual pair methods in the study of generalized Whittaker models for unitary highest weight modules"Proceedings of JSPS-DFG workshop "Infinite-dimensional Harmonic Analysis". (発表予定). (2000)
• [文献書誌] Yamashita, H.: "Reduced Schur functions and Littlewood-Richardson coefficients"J. of London Math. Soc.(2). 59・2. 396-406 (1999)
• [文献書誌] Nishiyama, T.: "Bernstein degree of singular unitary highest weight representations of the metaplectic group"Proc. Japan Acad.. 75・2. 9-11 (1999)
• [文献書誌] Saito, M.: "Hyper geometic polynomials and integer programming"Compositio Math. 115・2. 185-204 (1999)
• [文献書誌] 山下 博: "Description of the associated varieties for the discrete series representations of a semisimple Lie group" Comment.Math.Univ.St.Paul.47・1. 35-52 (1998)
• [文献書誌] 行者明彦: "Associated variety, Kostant-Sekiguchi correspondence, and locally free U(π)-action on Harish-Chandra modules" J.Math.Soc.Japan. 51・1. 129-149 (1999)
• [文献書誌] 森田英章: "Higher Specht polynomials for the complex reflection group G(r, p, n)" Hokkaido Math.J.27・3. 505-515 (1998)
• [文献書誌] 齋藤睦: "Grobner deformations of regular holonomic systems" Proc.Japan Acad.74・7. 111-113 (1998)
• [文献書誌] 辰鳥伸彦: "On group topologies and unitary representations of inductive limits of topological groups and the case of the group of diffeomorphisms" J.Math.Kyoto.Univ.38・3. 551-578 (1998)
• [文献書誌] 行者明彦: "Associated variety,Kostant-Sekiguchi correspondence,and locally free U(n)-action on Horish-Chandra modules" J.Math.Soc.Japan. 51・1(in press). (1999)
• [文献書誌] 平井武: "Relations between unitary representations of diffeomorphism groups and those of infinite symmetric group or of related permutation groups" J.Math.Kyoto Univ.37・2. 261-316 (1997)
• [文献書誌] 中島達洋: "On reduced Q-functions" Hiroshima Math.J.27・3. 407-414 (1997)