| 研究概要 |
当該研究の主な成果はPfaffianの和公式の応用としてシューア関数のようなA型の指標およびB,C,Dなどその他の古典群の指標に対してリトルウッド型の公式が拡張できることを示したことである。またJ.Alg.の論文においては、Pfaffianの和公式ではなくBinet-Cauchyというより簡明な方法で幅広い公式が得られることを示した。さらに現在はPfaffianのPlucker関数式の応用が考察され、Pfaffianの和公式自体、このPlucker関係式とlattice path methodを使うことによってStembridgeの証明の拡張および簡略化が出来ることが明らかになった。Plucker関係式の応用としてはさらにplethismなどの指標の関係式への新たな応用が考えられる。また最近Proctorなどが提唱したd-complete posetなどKac-Moody Lie環の一般化されたワイル群に関連して考察された半順序集合はフックの公式など非常に綺麗な性質をもつと考えられており、それらの性質のlattice path methodsを使った組み合わせ論的な証明も、このPfaffianの和公式の応用として出来ることが明らかになりつつある。d-complete posetについてはbirdsやinsetsなど一部の既約なd-complete posetについて和歌山大の田川氏との共同研究によってこれらの性質がすでに証明されており、これらの証明からd-complete posetよりもさらに広い範疇の半順序集合についてそのP-partitionの母関数に対してフックの公式が成り立つことがわかってきた。これらのフックの公式は、やはり何かの指標の公式の特殊化であろうと考えるのが自然であろう。この場合にはA,B,C,D型のような典型群の指標の公式とは考えられないが、Simply laced Kac-Moody Lie環のgeneralized Weyl groupなどの指標公式が関連しているらしい。また、このフックの公式のYoung tableauxを数えるようなバージョンも考える必要が出てきた。また、最近わかったことは、上のJ.Algebraの論文ではチェビシェフ多項式の公式が得られたが、LegendreやHermiteのような他の直交多項式についても同様の結果が得られるのではないかということである。
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