| 研究概要 |
Gを有限群,H_1,・・・,H_mを互いに素なGの部分群としS_0={1},S_i=H_i＼{1}(1【less than or equal】i【less than or equal】m)かつS_<m+1>=G＼U_1【less than or equal】i【less than or equal】mH_iとおく.S^^<^>_0,S_1,…,S^^<^>_<m+1>で生成されるC[G]の部分環〈S^^<^>_0,S_1,…,S_<m+1>〉がシュア環であるとは条件〈S^^<^>_0,S^^<^>_1,…,S^^<^>_<m+1>〉=CS^^<^>_0,CS^^<^>_1…+CS^^<^>_<m+1>がみたされることを言う.論文“Difference sets relative to disjoint subgroups"で次を示した:
定理 Dを部分群H_1,…,H_mに関する群Gのバラメタλの相対差集合とする.つまり
D^^<^>D^<(-1)>^^<^>=|D|+λ(G^^<^>-∪H_i^^<^>)とする.
このとき次のいずれかが成り立つ.
(i)H=H_1∪…∪H_mはGの部分群でDはHに関するGの通常の相対差集合である.
(ii)m=2,λ=1,|D|=n-1,|G|=n(n-1),でかつ{|H_1|,|H_2|}={n-1,n}である.
(iii)Gはある素数pに対して位数p^cのアーベル群でH_<m+1>=S_<m+1>∪{1}は位数p^cのGの部分群でありDのあるトランスレートはH_<m+1>で(p^d,|D|,λ)-差集合である.さらに|H_1|=…=|H_m|=|H_<m+1>|=p^dである.
(iv)|G|=n^2かつ{H_1,…,H_m}はGのパーシャルスプレッドである.
また論文″On Sylow subgroups of abelian affine difference sets″(Agnes Dizon-Garcianoとの共著)において次の結果を得た.
定理 Dを群Gにおける位数nの可換なアフィン差集合でpをn+1の素因数,rをGのp-rankとする.pがπ(w)⊆π(n)となるある整数w>1に対してp|w+1をみたすとしs=(w-1)_<π0>とおく(ただしπ_0=π((w-1,n^2-1))).このときr【less than or equal】log_p(|G_s|+2)が成り立つ.
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