| 研究概要 |
BをQ上の定符号四元数環,pをBで不分岐な素数とする.Γ⊂B^x/Q^xをPGL_2(Q_p)のcocompactな不連続部分群とする.簡単のためΓはtorsion-freeとする.ψをΓに関する重さ2の保型形式とする.ψはMumfordのp進上半平面P上のdualizing sheafのΓ不変なglobal sectionである.また,1≠δ∈Γをとる.これは点x∈Pからδ・x∈Pへのp進積分路を意図する.そのとき,Schneiderのp進L関数L(s,ψ,δ)が定義される.ψがΓの元γ≠1に対応するp進Poincare級数のときは,δとγがΓ/[Γ,Γ]の中でproportionalでないならばL(s,ψ,δ)=Σ_<g∈〈δ〉＼Γ/〈γ〉>{〈g・β〉^<1-s>-〈g・α〉^<1-s>},またproportionalであるならばL(s,ψ,δ)=Σ_<1≠g∈〈δ〉＼Γ/〈γ〉>{〈g・β〉^<1-s>-〈g・α〉^<1-s>}となる.ここではO,∞がδの固定点となるようにP^1の座標関数zをとる.α,βはγの固定点である.また,δの固有値の比qδについて,適当なcharacter〈 〉:Q^x_p/q^z_δ→1+p^<1+[1/(p-1)]>Z_pをとるものとする.明らかに,L(1,ψ,δ)=0.また,d/(ds)L(s,ψ,δ)|_<s=1>=Log_<〈 〉>(〈γ|δ〉)となる.ここで,Log_<〈 〉>はd/(ds)〈t〉^s=Log_<〈 〉>(t)〈t〉^sによって決まるものとし,〈|〉:Γ/[Γ,Γ]×Γ/[Γ,Γ]→Q^x_pはΓ＼PのJacobi多様体のp進周期に関するManin-Drinfeldのpairingである.
ΓをΓ_o(N)型であるとし,ψはHecke作用素の有理数を固有値とする固有関数とし,Eをψに対応するQ上の楕円曲線とする.そのとき,Mazur-Tate-Teitelbaumと同様の意味で,(elliptic modular caseで0から√<-1>∞への路をとるように)δを選択するrecipeがあってL(s,ψ,δ)とEについてBirchとSwinnerton-Dyerの予想の類似が成り立つかどうかを問うことは自然である.決定的な数値的証拠はまだ得られていないが,EのQ-rankが正の場合も含めて我々はそのような証拠を得ようと努めている.
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