| 研究課題/領域番号 |
09640074
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 補助金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 研究分野 |
代数学
|
|---|
| 研究機関 | 立教大学 |
|---|
研究代表者 |
青木 昇 立教大学, 理学部, 助教授 (30183130)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
1997 – 1998
|
| 研究課題ステータス |
完了 (1998年度)
|
| 配分額 *注記 |
2,000千円 (直接経費: 2,000千円)
1998年度: 600千円 (直接経費: 600千円)
1997年度: 1,400千円 (直接経費: 1,400千円)
|
|---|
| キーワード | ガウス和 / ヤコビ和 / フェルマー曲線 / 楕円曲線 / 合同数 / セルマー群 / カッセルズ対 / テイト・シャファレビッチ群 / テイト・シャファレヴィッチ群 / 円分体 / フェルマ-曲線 |
|---|
| 研究概要 |
本研究は、代数曲線の有理点の研究を、フェルマー曲線と楕円曲線という二つの曲線を中心におこなった。
フェルマー曲線に対しては、そのゼータ関数に現れるヤコビ和とその生成元であるガウス和について純粋性問題を取り上げ考察した。その中で、純粋性問題についてそれまで知られていた事実のある一般化を行った。さらに新しい予想を提出し、特別な場合についてそれを証明することに成功した。
楕円曲線としては特に、合同数問題と深く関連するある楕円曲線を例に取り上げ、そのセルマー群を考察した。このセルマー群は2-descentと呼ばれる、楕円曲線論では標準的な方法において現れる群であり、基本的かつ重要なものである。この群は古くから多くの人々により研究されてきたが、その位数を与える一般的な公式を与える文献は存在しないようである。本研究において、その一般的な公式を求めることに成功した。その証明において、局所体上の楕円曲線の有理点のなす群は、ある形式群を指数有限な部分群としてもつことと、その楕円曲線が加法的な悪い還元を持つとき、その部分群による剰余群は比較的単純な構造を持つという事実を利用して、悪い素点における局所体上の有理点を完全に決定した。さらに、テイト・シャファレヴィッチ群のある部分群に制限したカッセルズ対が、比較的簡単に計算可能になることを示した。これら二つの事柄を合わせて、セルマー群の位数を具体的に計算する公式を導いた。また、その応用として、セルマー群の位数に関するパリティー予想を考察した。
|
