| 研究概要 |
非線形写像の力学系としての構造と分岐を研究するために,その最も単純なモデルとしてのHenon mapの性質を解明する...というのがこの研究の目的である。
Henon mapは,Jacobianが0の場合には,標準的な2次多項式族となることから,Henon map及びHenon like mapの分岐構造の解明には,1次元写像の性質を明らかにすることが重要となる。
前年度までの研究において,かなり一般化された形でのC^1-unimodal mapの1-パラメータ族について,その分岐構造を位相的に解析し,それが標準的な2次関数族のものと,位相的に同じであることを証明することができた。この結果を応用することにより,Henon familyという多項式写像族に限らず,より一般的な形のhorseshoe like mapの2-parameter familyに関して,周期点曲面を定義し,1-dimensional partとhyperbolic partとがどのように結合しているのかを表現するような,記号列に関する自然な十分条件を証明することができた。
またR.Ghristによって,suspention flow がuniversal,すなわち全てのlink typeを持つようなR^2上のある4次の多項式自己同型が存在することが証明されている.この4次多項式の3-parameter familyに対して同様の考察を行うことにより,全てのbraidに対して,ある種の共役関係を与えることができる.これはbraidが共役になるための必要条件ではないが,symbolic sequenceから容易に計算できるというメリットがある.この方法が,knottheoryに対して,何らかの意味ある応用を持つのかどうかは,今後の課題である。
面積を保存するHenon familyにおいては,2-symbolのfull shiftと,KAM理論的分岐との開連が予想され,これによって発生する周期点やinvariant circleなどが,どのようにsymbolic dynamicsの中に埋めこまれているのか?という興味深い問題がある。これについては,前年度にひき続き,Biham-Wenzelの方法による数値実験で得られたデータをもとに,適切な不変量を定義するための試みをいくつか行なったが,まとまった理論的結果とするためには,さらなる研究が必要である。
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