| 研究概要 |
本研究では、まず微分トポロジーにおけるノビコフ予想と呼ばれる問題を発展させた。離散群のクラスとして,コーミング群を扱った.このクラスは,あまりに広く,定義された線分が測地線からかけ離れたものまで含んでしまう.そこでプロパーという幾何学的な概念を導入することでそのクラスが大変扱いやすくなった。次に,コンヌ,ヒグソンにより導入されたE理論に対応するフレドホルム表現として,空間の間の漸近的リプシッツ写像という概念を導入した.これらの準備のもとに,群がねじれなし,プロパーコーミングの場合のノビコフ予想を示した.
離散距離空間の間の写像に対して、リプシッツの条件のように距離に関する条件を考えることができる。そのような距離に関するある条件を課すことにより、その写像がファイバー構造である、という概念を定義した。特に、離散群についてのファイバー構造を考察することにより、我々は次の結果を得た:Гをalmost non positively curved manifoldの基本群とする。このときH^*(Г;R)の任意のクラスはプロパー・リプシッツである。特にГに対してノビコフ予想が成立する。
次に有理二重点の上の反射的加群(reflexive module)の半普遍変形(versal deformation)について研究し、変形空間の自然なstratificationおよび各stratumの閉包の特異点解消を、ある種の相対モデュライ空間として構成した.特に、反射的加群の変形による(閉包)順序関係はルート系のdominant weightの通常の半順序と一致することがわかった.さらに、変形空間の隣接するstrataの間の特異点の記述を行った.
最後に有理二重点についてのMcKay対応に関する伊藤-中村の結果を、一般の二次元商特異点に対して、Riemenschneiderにより予想された形で拡張することができた。
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