| 研究分担者 |
前橋 敏之 熊本大学, 理学部, 教授 (90032804)
大脇 信一 熊本大学, 理学部, 教授 (50040506)
黒瀬 俊 福岡大学, 理学部, 助教授 (30215107)
原岡 喜重 熊本大学, 理学部, 助教授 (30208665)
山田 光太郎 熊本大学, 理学部, 助教授 (10221657)
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| 研究概要 |
本研究では,ワイエルストラス表現公式の大域的問題を扱った.まず,大域的問題の周辺に現れる基礎的な問題を主として考察した.ユークリッド空間の極小曲面に関するモノドロミー問題は,ある種の積分の周期問題と考えることができるが,たとえば,双曲型空間のCMC-1曲面についてのそれは,「リーマン面上の常微分方程式のモドロミー問題」とみなすことが出来たのであった.ここで現れるモノドロミー問題は「モノドロミー群がユニタリ群にreduceされるのはどんな時か」という形に述べることができる.この条件を一般的に書き表すには多大なる困難があるが,問題がある種の対称性をもっている場合は,解ける可能性があり,それを用いて対称性をもつCMC-1曲面の具体例が大量に構成できることがわかった.この事実と類似の状況が,リーマン面上の特異定曲率計量についても成り立つことが示され,さらに,ある位相的条件のもとでその計量の分類問題が解決された.また,曲面を離れて,ある種のフックス型の微分方程式のモノドロミーについて考察した.
さらに,定曲率計量の分類問題の応用として,双曲型空間のある種の定平均曲率曲面の分類問題を解決した.これは,ワイエルストラス-ブライアン型表現公式のモノドロミー問題に帰着される問題であった.ここで扱った手法をさらに深めることによって,自明でない位相型をもつリーマン面上の特異計量,とくに,トーラス上の特異計量と楕円関数論の関係が明らかになった(現在発表準備中).
また,CMC-1曲面の分類と関係して,ユークリッド空間の完備な極小曲面に対して定義されるホモロジー不変量(通常「フラックス」と呼ばれる)のCMC-1版が発見され,さらに,種々のカテゴリーの曲面に関して,その(ある種の)表現公式に含まれるスペクトル・パラメータを利用することで,ホモロジー不変量を定義することができることがわかった.
さらに,不定値幾何学のカテゴリーで,3次元ミンコフスキー空間の極大曲面のワイエルストラス型表現公式を用いて,ある種の曲面の構成を試みた.この場合は,曲面の位相はあまり問題にはならず,むしろ,特異性をもつ曲面の特異点の回りの挙動が問題となる.現時点では,特異点の挙動が非常におとなしい場合の分類ができている。
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