| 研究概要 |
1. 複素代数曲面の、半安定的とは限らない一般の退化の研究は対数的極小モデルプログラムの適用によって、対数的極小退化と呼ばれる極小モデルより取り扱い易い対象の研究に帰着される。このモデルの特異ファイバーの各既約成分は different と呼ばれる有理係数境界との対で対数的曲面となり、この対数的曲面の構造解析が研究の出発点であった。退化の全空間と特異ファイバーの台との対は対数的3次元複素解析空間となるが differentはその対の特異性を反映するいわば影のようなものであり、対数的曲面の構造解析から得られる different の情報と Euler 標数公式から得られる対数的3次元複素解析空間の局所的対数的標準被覆の情報から、対数的3次元複素解析空間の特異性をどのようにして復元するかが問題点であった。その解決のため加藤、難波、Serre による普遍分岐被覆の理論の援用による、任意次元複素解析的特異点の芽に関する、代数的 D-局所基本群の概念を導入し、自然な仮定のもとで、ある種のLefshetz型定理を導くことが出来た。この定理は当所の問題点を解決するだけではなく、 Wilson,Sheperd-Barron による3次元標準特異点の代数的局所基本群の有限性定理と組み合わせることにより一定のクラスの4次元特異点の代数的局所基本群の有限性が導かれることがわかった。本研究結果は論文"D-local algebraicfundamental groups of normal complex analytic singulaities" として投稿する予定である。2. 上記の研究結果からアーベル曲面、超楕円曲面の退化の特異性が極めて明瞭に特定することができた。この研究結果はEuler 標数公式と合わせて、論文"The Euler Characteristic"Formula for Logarithmic Minimal Degenerations of Surfaces with Kodaira Dimension Zero" として準備中である。
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