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ゼータ関数の高階導関数の漸近的挙動の解明とその応用

研究課題

研究課題/領域番号 09740035
研究種目

奨励研究(A)

配分区分補助金
研究分野 代数学
研究機関鹿児島大学

研究代表者

桂田 昌紀  鹿児島大学, 理学部, 助教授 (90224485)

研究期間 (年度) 1997 – 1998
研究課題ステータス 完了 (1998年度)
配分額 *注記
2,000千円 (直接経費: 2,000千円)
1998年度: 700千円 (直接経費: 700千円)
1997年度: 1,300千円 (直接経費: 1,300千円)
キーワードゼータ関数 / L関数 / 漸近展開 / 特殊値
研究概要

以下,本稿ではζ^<(k)>(s)でRiemannゼータ関数のk階導関数(k=0,1,2,...)を表わす.本年度の研究成果を以下の五項目に分けて述べる.
1. ^<(k)>(s)(k【greater than or equal】1)の二乗平均の誤差項 E(T;k)に対するAtkinson
この方面の予備的成果として,一般化された約数関数d^<(h,k)>(n)=Σ_<(lm=n)>log^hllog^km(h,k=0,1,2,...)に関するVoronoi型和公式が証明されている.今後はこの和公式をもとに,最終目標であるE(T;k)のAtkinson型公式を確立したい.
2. ^<(k)>(s)^2(k【greater than or equal】1)の近似関数等式の導出とその剰余項R(s;k)の確
この方向では,近似関数等式の確立の基礎となるζ(s-a)ζ(s-b)(a,bは複素パラメタ)のTitchrnarsh型級数表示の導出は完了した.今後はこの級数表示をもとに,ζ^<(k)>(s)^2の近似関数等式の証明し,さらにはその剰余項 R(s;k)を十分満足できる形に評価したい.
3. 重み付き積分によるζ(s)の二乗平均へのアプローチ
ζ(s)の二乗平均を扱う際,重み付き積分∫^∞_<-∞>|ζ(σ+i(T+t))|^2e^<-(t/Δ)^2>dt(Δ>0はパラメタ)から出発する方法が有効である.本研究者は,名古屋大学・松本耕二氏とともに,この方法をDirichlet L関数の場合に応用した.その成果は英文論文として欧文会議録に発表予定である.
4. Lerchゼータ関数に付随した羃級数・漸近級数の研究とその応用
本研究者はζ(s)の一般化であるLerchゼータ関数φ(λ,α,s)(λ,αは実パラメタでα>0)のパラメタαに関する羃級数及び漸近級数をMellin-Barnes型積分表示を用いて導出し,さらにそれらが種々の応用を持つことを示した.結果は英文論文として欧文学術雑誌に発表した.
5. ζ(s)の正の奇数点における特殊値に付随した変換公式の解明
ζ(2n+1)(n=1,2,...)の急収束する級数表示については,古典的なWiltonの公式[Messenger Math.(1922/23)]や,最近Cvijovic & Clinowski [Proc.Amer.Math.Soc.(1997)]によって得られた公式が有名であるが,本研究者はMellin-Barnes型積分の導入により,これらの級数表示が,ある種の変換公式の特別な場合として捉えられることを発見した.結果は英文論文として欧文学術雑誌に発表予定である.

報告書

(2件)
  • 1998 実績報告書
  • 1997 実績報告書
  • 研究成果

    (14件)

すべて その他

すべて 文献書誌 (14件)

  • [文献書誌] Masanori Katsurada: "An application of Mellin-Barnes type of integrals to the mean square of L-functions" Lietuvos Matematikos Rinkinys. 38. 98-112 (1998)

    • 関連する報告書
      1998 実績報告書
  • [文献書誌] Masanori Katsurada: "Power series and asymptotic series associated with the Lerch zeta-function" Proceedings of the Japan Academy. 74,Ser.A. 167-170 (1998)

    • 関連する報告書
      1998 実績報告書
  • [文献書誌] 桂田 昌紀: "Hurwitz ゼータ関数の導関数の二乗平均値に関するある漸近公式" 京都大学数理解析研究所講究録. No.1060. 66-90 (1998)

    • 関連する報告書
      1998 実績報告書
  • [文献書誌] Masanori Katsurada: "A weighted integral approach to the mean square of Dirichlet L-functions" “Number Theory and its Applications,"Gyory and Kanemitsu (Eds.),Kluwer. (in press).

    • 関連する報告書
      1998 実績報告書
  • [文献書誌] Masanori Katsurada: "Rapidly convergent series representations for ζ(2n+1)and their χ-analogue" Acta Arithmetica. (to appear).

    • 関連する報告書
      1998 実績報告書
  • [文献書誌] Masaaki Amou: "Irrationality results for values of generalized Tschakaloff series" Journal of Number Theory. (in press).

    • 関連する報告書
      1998 実績報告書
  • [文献書誌] Shigeru Kanemitsu: "On the Hurwitz-Lerch zeta-function" Aequationes Mathematicae. (to appear).

    • 関連する報告書
      1998 実績報告書
  • [文献書誌] Masanori Katsurada: "Rapidly convergent series representations for ζ(2n+1)and their χ-analogue" Surikaisekikenkyusho (R.I.M.S.)Kokyuroku. (in press).

    • 関連する報告書
      1998 実績報告書
  • [文献書誌] Masanori Katsurada: "An application of Mellin-Barnes'type integrals to the mean square of Lerch zeta-functions" Collectanea Mathematica. 48・1-2. 137-153 (1997)

    • 関連する報告書
      1997 実績報告書
  • [文献書誌] Masanori Katsurada: "Explicit formulas and asymptotic expansions for certain mean square of Hurwitz zeta-functions II" in"New Trends in Probability and Statistics",A.Laurincikas and E.Manstavicius(Eds.)VSP/TEV. Vol.4. 119-134 (1997)

    • 関連する報告書
      1997 実績報告書
  • [文献書誌] Masanori Katsurada: "On Mellin-Barnes type of integrals and sums associated with the Riemann zeta-function" Publications de l'Institut Mathematique(Beograd)(N.S.). 62(76). 13-25 (1997)

    • 関連する報告書
      1997 実績報告書
  • [文献書誌] Masanori Katsurada: "An application of Mellin-Barnes type of integrals to the mean square of L-functions" Lietuvos Matematikos Rinkinys. (掲載予定).

    • 関連する報告書
      1997 実績報告書
  • [文献書誌] Masaaki Amou: "On algebraic independence of generalized Dirichlet series" 第5回 超越数論研究集会報告集. 1-7 (1997)

    • 関連する報告書
      1997 実績報告書
  • [文献書誌] 桂田 昌紀: "Hurwitzゼータ関数の導関数の二乗平均値に関するある漸近公式" 京都大学数理解析研究所講究録. (掲載予定).

    • 関連する報告書
      1997 実績報告書

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公開日: 1997-04-01   更新日: 2016-04-21  

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