| 研究概要 |
前年度の一般の弱一完備多様体の大域的埋め込みの研究をより具体的な対象に対して応用,発展させ,それによって準アーベル多様体(アーベル多様体の非コンパクト厠に対して,アーベル多様体に対して知られている幾つかの重要な定理を一般化することに成功した.
X=C^n/Гを準アーベル多様体とし,Hをその(一つの)偏極とする.つまりHはC^n上の正定値エルミート形式で,その虚部Im HはГ×Г上で整数値を取るものとする.さらにLをX上の正則直線束でその第一チャーン類c_1(L)が偏極Hの類に一致するものとする.本研究では,まず準アーベル多様体上の風間-梅野によるコホモロジー理論を応用することによって,そのようなLが勝手な相対コンパクト集合の上では正であることを示し,さらに前年度の研究(エフェクティブな大域埋め込み定理)を応用することによって,全空間X上でLが正であることを証明した.結局,正則直線束Lに対して以下の四条件が同値であることを証明できた.(1)Lはアンプルである;(2)Lは正である;(3)c_1(L)にはケーラー形式が含まれる;(4)c_1(L)はある偏極Hに対応する.さらに正の直線束Lに対して,いわゆるレフシェツ型定理を証明するとこに成功した.それにはまず,ポアンカレ完全既約性定理の類似を使って,議論をアーベル多様体の場合と,それとは対称的な部分アーベル多様体を含まない場合に帰着する.部分アーベル多様体を含まない準アーベル多様体上では,前年度の研究(エフェクティブな大域生成,埋め込みの理論)は大変有効であり,それによって次の定理を得た.定理:Lを準アーベル多様体X上の正の直線束とする.このとき(1)Lは自明でない正則切断をもつ;(2)L^2は大域切断で生成されている;(3)L^3は射影空間への埋め込みを与える.
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