| 研究概要 |
平成10年度には、自由境界の正則性に関する新しいアプローチでを発展させた:従来のアプローチの多くはexcess area評価に基づき、又、そのexcess area評価を導き出すには最大値原理または解のより特別な性質を用いることが多かった。発展させたアプローチは、「Liapunovの直接法」とPlateau問題についての結果に動機づけられている。このアプローチは、energy decay評価に基づき、エネルギー汎関数の性質のみを用いているため、システムなどへの応用も考えられる。また、excess area評価を含まないため、特異点でのblow-up極限の一意性、特異集合の正則性にも応用が可能である。
一方、この方法を用いて、γ∈(0,1),∂_tu-Δu=-max(u,0)^γの高次元での自由境界の正則性を示した:自由境界∂{u>0}を、C^<1/2,1+μ>-曲面である集合Rと、χ{u>0}の密度がほとんどいたる点において0または1になる集合∂{u>0}-Hの、二つの集合に分けることができる。従って、物理学的な立場からは特異集合∂{u>0}-Rを無視することができる。
一方、上記の「energy decayアプローチ」を一相オブスタクル問題Δu=χ{u>0}の場合に関して実行し、自由境界の正則性の巨視的な判定基準を高次元で導き出した。その論文は二次元の場合についての、特異点構造の完全な分析も含む。
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