| 研究概要 |
DC1に採用された一年目より,代数多様体のGIT安定性に関連した研究をしてきた.二年目においては佐野氏との共同研究の中で,Fano多様体の場合に特に限定はしているものの,Seshadri定数と安定性の関連性が見つかったのであったが,この手法を発展させ,岡田氏と共同で,多様体の有理性問題由来の「双有理超剛性」(Iskovskih-Manin)との,予想外の関連を示した.この方向性は更なる発展の可能性を感じる.また,これは純粋に双有理幾何学における極小モデル理論の問題への貢献であるが,Chenyang Xu氏との共同研究において曲面特異点に対する最小特異点解消の,更に例外(-2)曲線をつぶした相対的(半)標準モデルの存在を,境界付き(対数版)で正規特異点とも限らない最大限の範囲にまで拡張した.これが丁度修士論文で得た,GIT安定性と食い違い係数の関連を示す主張を無条件で完全なものにするための技術的障害の解決でもあった.以上二つはDCからPDへ資格変更する前のものである.PDへ資格変更後,DC1一年目より発展してきた安定性の判定理論とその応用のほぼすべてを,境界因子を付随させるという意味で対数的な構造が付与された"対数的偏極多様体"の枠組みに拡張した.この枠組は開複素多様体上の("錐型漸近挙動"の)標準計量の存在に対応すると予想されている.我々の成果はSun氏自身の微分幾何的な半安定性の証明を別手法で拡張しており,Berman,Brendle氏らによる開複素多様体上の標準計量の存在定理の代数版も含んでいる.RossとThomasには彼らによる幾らかの射影的軌道体の軌道体的slope安定性の証明も包含している筈と指摘された.Donaldsonによる最近の(安定性条件下の)標準計量の存在問題の解決プログラムへの寄与や,安定性の判定問題への応用が見込まれている.
さらに以下の研究を行った.すなわちK安定性はテスト配位と呼ばれる(同変)退化ごとに定まるGIT-weightの正値性であったが,そのためには個々の代数多様体ごとに無数に表れるテスト配位の全体がどのような構造を持つかという問いは技術的に核である.私はそれらの同値類(テストクラス)全体がTitsによる球建物という単体的複体(の有理点集合の"極限")でパラメトライズされること,および任意の不安定多様体に対し,それを脱安定化するテストクラスの中で"最適"なものが存在することをHarder-Narasimhanフィルトレーションの類似として指摘した.未だ抽象論の段階である.
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