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2つ以上の電子状態間の遷移における原子集団のトンネル効果を調べるために、プランク定数展開を使って、これまでよく使われている近似理論を検討した。各々の近似理論の物理的な意味を明らかにして、適応範囲をはっきりさせた。ここで考える遷移は、電子状態間の(Hamiltonianの非対角項)結合が小さくて、遷移速度が摂動論(golden rule)で与えられる場合に限る。この様な遷移が起こる時は、系に含まれる原子集団は、エネルギーの保存からエネルギー的に不安定な配置を要求される。この原子集団の活性化は、熱的にも起こり得るが、水やタンパク質の場合、トンネル効果も強い。
具体的には、以下の6つの近似について、その遷移速度をプランク定数で展開し、厳密な式と比べた。
1.Spin-bosonモデル。2.Cumulant展開の方法(古典)。3.Cumulant展開の方法(量子)。4.Warshelの方法(半古典軌道近似)。5.Frozen Gaussianの方法。6.Frozen Gaussian+local harmonics近似。これらの近似のプランク定数による展開を比較する事により、プランク定数が2次のオーダーで近似が厳密になる条件を見つけた。条件のうち2つは、反応体の電子状態が溶媒の構造にあまり影響を与えないというもので、他の条件は、反応座標の線形性に関係している。解析的な式の比較に加えて、数値的な比較もした。検討したパラメーターでは、ほとんどの近似が同じ値を与えたが、5のFrozen Gaussianは、全く違った値を与えた。
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