| 研究概要 |
有限群の相対完備コホモロジー論,すなわち「周期に関する定理」及び「スペクトル系列の理論」の相対的理論を完成させることを目標とし,研究を行ってきた。
最初に,絶対的な場合の周期に関する理論(Artin-Tateの定理)の手法を相対的な場合に拡張しようと考え,cup積∪:H^^<^>^m(G,H,A)【cross product】H^^<^>^n(G,H,B)→H^^<^>^<m+n>(G,H,A,【cross product】B)を導入した。
「周期に関する定理」は本質的にいわゆる「双対定理」のことである。そのためにH^^<^>^<-1>(G,H,A)を求める必要があるが,これは有限群Gの部分群Hによる両側剰余分類分解を用いて表わすことができることがわかった(Adamsonによる関連する結果もある)。これから「双対定理」を証明するべく,現在も研究を行っている。なお,この証明が可能かどうかを推測すべくGAP,MapleあるいはMathematica等のプログラミングの研究を行っている。
一方,通常のスペクトル系列H^p(G/N,H^q(N,A))⇒_pH^<p+q>(G,A)をNが正規部分群とは限らない場合に拡張するのが目的だったが,この場合H^q(N,A)をどのようにG-加群とみなすかという問題が解明できずにおり,現在研究中である。
またこの他,位数が2べきの一般四元数群に対して,その群環の単純成分の整環を係数加群とするコホモロジー環の環構造を解明することができた。
今後これに関連して,一般に有限群の体上の群環の単純成分に現れるorderを係数加群とする群のコホモロジーの環構造を決定する研究,及びMorita同値なこれらorderのコホモロジー環の間の環同型の存在について研究を行って行く予定である。
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