| 研究概要 |
研究成果は以下のとおり.
この研究において代表者の石井は,特異性をもつ非線形偏微分方程式に対する粘性解について,その存在,一意性,安定性や近似問題への応用について調べた.主に,極低温下におけるヘリウムの結晶成長にみられるような,多角形の特異な曲率による運動の解析や凸とは限らない単純閉曲線の曲率による運動への近似問題への応用については,満足のいく結果を得ることができた.Bence, Merryman, Osherによって考案された全空間における平均曲率流の近似アルゴリズムは,少し形を変えたものとはいえ,有界領域における平均曲率流についても近似が可能であることを示すことができた.
全空間で定義された非線形楕円型/放物型偏微分方程式に対する非有界な粘性解の一意性について,それがなりたつような関数の増大度のクラスを非線形項の増大度との関係で完全に決定することができた.更に,劣微分項をもつ非線形楕円型偏微分方程式に対して劣微分の定義を用いて粘性解の定義を拡張することにより,解の一意存在を証明した.
分担者の丸尾は非線形退化楕円型偏微分方程式の境界値問題に対する連続な粘性解は球対称に限るかどうか,を中心に研究した.n次元球で定義された非線形退化楕円型偏微分方程式の境界値問題について,係数が球対称という仮定のもとで連続な粘性解が一意で球対称解に限るための必要十分条件を示した.この結果はほぼ最良のものと思われる.
また,全空間で定義された場合は連続な粘性解が有界な場合と非有界な場合に分けて,球対称な粘性解の存在,一意性等について考察した.
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