| 研究概要 |
ディオファンタス近似理論においてLittlewoodの予想というものがある.n個(n【greater than or equal】2)の任意の実数の,ある種の同時近似問題である.さて,Littlewoodの予想は,n=2の場合に帰着されることがわかっている.そこで,2つの実数が共に2次無理数であるときに,上記の予想に近づくことが本研究の目標であった.
平成10年度は,H.Dickinsonの方法(1993,1994)を用いてのアプローチを試みた.同時あるいは非同時の1次形式についてのある種のディオファンタス不等式とエルゴード理論でいうnatural extension, skew pruduct, substitution等を組み合わせるものであったが,これはうまくいかなかった.
平成11年度は,Minkowskiのconvex body theoremに基づいた類似の不等式を用いてのアプローチを試みた.この不等式はMinkowski,W.M.Schmidt等によって提示され,さらにCassels, Davenport, Mahler等によってその評価が改良されている.本研究では実数を2次無理数に限定することにより,両者のある種の展開における周期性を用いることができた.このことと,既に得られている結果によって,同不等式の評価を改良することができると思われる.
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