| 研究概要 |
線型偏微分方程式系の楕円型過剰決定系に対する無限回微分可能解の存在問題が研究課題であったが, 本研究で独立変数の個数が2のときには完全に解決することができた. 即ち次の存在定理を確立した.
定理. 2独立変数に関する線型偏微分方程式系が包合的で楕円型であれば, 局所無限回微分可能解を有する.
楕円型過剰決定系の場合の無限回微分可能解の存在問題は, 非常に微妙で難しい問題であり, 一般には強い制約となる付加条件の下での結果しか未だ知られていない. 上述の結果は, 独立変数の個数が2の場合ではあるが, 楕円型包合性の他には付加条件を一切課していない点で一般的なものである. 証明の方法はL^2理論ではあるが, 従来のもの(D-Neumann問題を扱う方法)とは異なる. 一般に解の存在問題は, 対応して構成される短い微分複体の完全性の問題として表現され, さらに後者はいわゆるSpencer列の対応する項における完全性と同値である. このSpencer列から定まる各近傍U上のL^2空間の間の微分複体を導入し, 十分小さいUに対し これが完全であることを示す. この証明が議論の要点であり 2独立変数の場合にはSpencer列の微分作用素が単純で都合のよい局所表現を持つことにより, われわれの方法を適用することに成功した. この結果と楕円型微分方程式の解に関する正則性定理により元のSpencer列の完全性が導かれる.
独立変数の個数が3以上のときの考察も行ったが, Spencer列における微分作用素の構造に決定的に異なる様相が生じる為, 方法論と構造に関して手がかかりとなりうる知見を得てはいるが, 問題の一般的解決へ至るには画期的な方法等の新たな発見が必要であり今後の研究課題である.
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