| 研究概要 |
平成11年度に本研究科で得られた研究成果を以下に列挙する:
1.素数pに対するGreenberg予想が成立していて,かつ岩澤の類数公式における類数の安定化が随意に遅くなるような総実代数体が存在することを証明した.
kを代数体,pを素数,knをkの円分的Z_<p->拡大のn-th Iayerとし,A_nでk_nのイデアル類群のp-Sylow部分群を表すことにすると,岩澤の類数公式より,定数λ_p,μ_p,ν_pが存在して,十分大きいすべてのnに対して♯A_n=p^<λ_pn+μ_pp^n+ν_p>が成立する.もしもkがpに対するGreenberg予想が成立しているような総実代数体ならば,λ_p=μ_p=0となるから,十分大きいすべてのnに対して♯A_nは一定となるが,任意の与えられた自然数N>0に対して♯A_0<♯A_1<♯A_2<・・・<♯A_Nと♯A_nの安定化が随意に遅れるようなkが存在する.
2.k/Qを有限次Galois拡大,pを素数とし,K/kをK/QがGalois拡大になるようなZ_p-拡大で,X_<finite>をK/kに付随する岩澤加群の最大有限部分加群とする.このときp*[k:Q]でK/kが適当な条件(例えばK/kが円分的)を満たせば,X^<Gal(K/k)>_<finite>が単生成Z_p[Gal(k/Q)]-加群であることを証明した.この応用として,特にp≠2,kが総実代数体でpが完全分解して,Leopoldt予想が(k,p)に対して成立しているとき,Gal(M(K)/L(K))が単生成Z_p[[Gal(K/Q)]]-加群であることが分かった.ここにL(K)/K,M(K)/Kはそれぞれ最大不分岐pro-pアーベル拡大,最大p-分岐pro-pアーベル拡大である.
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